SOAL PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

 SOAL PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

1. Penyelesaian persamaan  

$\begin{array}{c}\sqrt{8^{x^2-4x+3}}=\frac{1}{{32}^{x-1}}\end{array}$ adalah p dan q, dengan p > q. Nila p + 6q = ...
A.   17
B.   -1
C.   4
D.   6
E.   9

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}\sqrt{8^{x^2-4x+3}}& =\frac{1}{{32}^{x-1}}\\ 8^{\frac{x^2-4x+3}{2}}& ={32}^{-(x-1)}\\ {\left(2^3\right)}^{\frac{x^2-4x+3}{2}}& ={\left(2^5\right)}^{-(x-1)}\\ 2^{\frac{3\left(x^2-4x+3\right)}{2}}& =2^{-5(x-1)}\\ \frac{3(x^2-4x+3)}{2}& =-5(x-1)\\ 3(x^2-4x+3)& =-10(x-1)\\ 3x^2-12x+9& =-10x+10\\ 3x^2-2x-1& =0\\ (3x+1)(x-1)& =0\\ x=-1/3atau& x=1\end{array}$

Karena p > q, maka p = 1 dan q = -1/3.
Jadi, nilai p + 6q  =  1 + 6(-1/3)  =  -1

Jawaban : B

2 . Akar-akar persamaan eksponen 3^2x - 10.3^x+1 + 81 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka nilai x₁ - x₂ = ...

A.   -4
B.   -2
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
3^2x  -  10.3^x+1  +  81  =  0
(3^x)²  -  10.3^x.3¹  +  81  =  0 
(3^x)²  -  30(3^x)  +  81  =  0
(3^x - 3)(3^x - 27) = 0
3^x  = 3  atau  3^x = 27
x = 1  atau  x = 3

Karena  x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 1.
Jadi,  x₁ - x₂  =  3 - 1  =  2

Jawaban : C 

3. Akar-akar persamaan 2.3^4x - 20.3^2x + 18 = 0 adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ = ...

A.   0
B.   1
C.   2
D.   3
E.   4

Pembahasan :
2.3^4x  -  20.3^2x  +  18  =  0
2(3^2x)²  -  20(3^2x)  +  18  =  0     ÷ 2
(3^2x)²  -  10(3^2x)  +  9  =  0
(3^2x - 1)(3^2x - 9) = 0
3^2x = 1  atau  3^2x = 9
3^2x = 3⁰  atau  3^2x = 3²
2x = 0  atau  2x = 2
x = 0  atau  x = 1

Jadi, nilai x₁ + x₂  =  0 + 1  =  1

Jawaban : B

4. Akar-akar persamaan 3^2x+1 - 28.3^x + 9 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, maka 3x₁ - x₂ = ...

A.   -5
B.   -1
C.   4
D.   5
E.   7

Pembahasan :
3^2x+1  -  28.3^x  +  9  =  0
3^2x.3¹  -  28.3^x  +  9  =  0
3(3^x)²  -  28(3^x)  +  9  =  0

Misalkan y = 3^x, persamaan diatas menjadi
3y² - 28y + 9 = 0
(3y - 1)(y - 9) = 0
y = 1/3  atau  y = 9

Karena y = 3^x, maka penyelesaiannya menjadi
3^x = 1/3  atau  3^x = 9
3^x = 3^-1  atau  3^x = 3²
x = -1  atau  x = 2

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 2 dan x₂ = -1.
Jadi, 3x₁ - x₂ = 3(2) - (-1) = 7

Jawaban : E

5. Bila x₁ dan x₂ penyelesaian dari persamaan 2^2x - 6.2^x+1 + 32 = 0 dan x₁ > x₂, maka nilai 2x₁ + x₂ = ...

A.   1/4
B.   1/2
C.   4
D.   8
E.   16

Pembahasan :
2^2x  -  6.2^x+1  +  32  =  0
(2^x)²  -  6.2^x.2¹  +  32  =  0
(2^x)²  -  12(2^x)  +  32  =  0
(2^x - 4)(2^x - 8) = 0
2^x = 4  atau  2^x = 8
x = 2  atau  x = 3

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 2.
Jadi, nilai 2x₁ + x₂  =  2(3) + 2  =  8

Jawaban : D

6. Akar-akar persamaan 5^x+1 + 5^2-x = 30 adalah a dan b, maka a + b = ...

A.   6
B.   5
C.   4
D.   1
E.   0

Pembahasan :

5^x+1  +  5^2-x  =  30
5^x.5¹  +  5².5^-x  =  30 
5(5^x)  +  25(5^-x)  =  30    × 5^x
5(5^x)²  +  25  =  30(5^x)
5(5^x)²  -  30(5^x)  +  25  =  0   ÷ 5
(5^x)²  -  6(5^x)  +  5  =  0
(5^x - 1)(5^x - 5) = 0
5^x = 1  atau 5^x = 5
x = 0  atau  x = 1

Diperoleh a = 0 dan b = 1.
Jadi, a + b  =  0 + 1  =  1

Jawaban : D

7. Akar-akar persamaan 9^x - 12.3^x + 27 = 0 adalah α dan β. Nilai αβ = ...

A.   -3
B.   -2
C.   1
D.   2
E.   3

Pembahasan :
9^x  -  12.3^x  +  27  =  0
(3^x)²  -  12(3^x)  +  27  =  0
(3^x - 3)(3^x - 9) = 0
3^x = 3  atau 3^x = 9
x = 1  atau  x = 2

Diperoleh α = 1  dan  β = 2.
Jadi, nilai αβ = 1.2 = 2

Jawaban : D

8. Akar dari persamaan 

23x−1 = 32 adalah .....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Pembahasan:

23x−1 = 32

⟺ 23x−1 = 25

⟺ 3x - 1 = 5

⟺ 3x = 5 + 1

⟺ 3x = 6

⟺ x = 6/3

⟺ x = 2

Jadi, akar dari persamaan 23x−1 = 32 adalah x = 2

(Jawaban: A) 

9. Akar dari persamaan 

35x−1=27x+3 adalah .....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan:

35x−1=27x+3

⟺ 35x−1=(33)x+3

⟺ 35x−1=33x+9

⟺ 5x - 1 = 3x + 9

⟺ 5x - 3x = 9 + 1

⟺ 2x = 10

⟺ x = 10/2

⟺ x = 5

Jadi, akar dari persamaan 35x−1=27x+3 adalah x = 5
(Jawaban: E)

10. (

33x−2)2=19−−√3, maka nilai x adalah .....
A. ⅔
B. 4½
C. -3⅓
D. 3⅓
E. -4½

Pembahasan:

(33x−2)2=19−−√3

⟺ (31−x+2)2=3−2−−−√3 

⟺ 36−2x=3−2/3

⟺ 6 - 2x = -2/3

⟺ -2x = -2/3 - 6

⟺ -2x = -20/3

⟺ x = -20/-6

⟺ x = 30/3

⟺ x = 313

Jadi, x = 313
(Jawaban: D)

11. Jika 

3x−2y = 1/81 dan 2x−y = 16, maka nilai x + y adalah .....
A. 21
B. 20
C. 18
D. 16
E. 14

Pembahasan:

(1) 3x−2y=181

⟺ 3x−2y=134

⟺ 3x−2y=3−4

⟺ x - 2y = -4 .........(1)

(2) 2x−y=16

⟺ 2x−y=24

⟺ x - y = 4  ............(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

x - 2y = -4

x - y = 4 -

⟺ -y = -8

⟺ y = 8

Subtitusi nilai y = 8 ke salah satu persamaan.

x - y = 4

x - 8 = 4

x = 4 + 8

x = 12

Jadi, x + y = 12 + 8 = 20

(Jawaban: B)

12. Nilai x yang memenuhi persamaan 

84x = ½ √2 adalah .....
A. -1/24
B. -1/16
C. -1/12
D. -1/8
E. -1/6
Pembahasan:
84x = ½ √2
⟺ 23(4x) = 2−1 . 2½
⟺ 212x = 2−1+½
⟺ 212x = 2−½
⟺ 12x = -½
⟺ x = -½ : 12
⟺ x = -1/24
(Jawaban: A)

13. Akar-akar persamaan 

$3^{2x+1}-28\cdot 3^x+9=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1>x_2$, maka nilai dari $3x_1-x_2=\cdots \cdot$
A. $-5$                     C. $4$                    E. $7$
B. $-1$                     D. $5$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{array}{cc}{3}^{2x+1}-28\cdot 3^x+9& =0\\ (3^{2x}\cdot 3)-28\cdot 3^x+9& =0\\ 3\cdot (3^x{)}^2-28\cdot 3^x+9& =0\end{array}$
Misalkan $a=3^x$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{array}{cc}3a^2-28a+9& =0\\ (3a-1)(a-9)& =0\\ a=\frac{1}{3}\text{atau}& a=9\end{array}$
Untuk $a=\frac{1}{3}$, diperoleh $3^x=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-1$.
Untuk $a=9$, diperoleh $3^x=9\Rightarrow x=2$.
Karena $x_1>x_2$, maka $x_1=2$ dan $x_2=-1$, sehingga $3x_1-x_2=3\left(2\right)-(-1)=7$

(Jawaban E) 

14.Bila 

$x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $3^{4-x}+3^x-30=0$, maka nilai $x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $1$                               D. $4$
B. ${}^3\log 10$                     E. ${}^3\log 30$
C. $3$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{array}{cc}{3}^{4-x}+3^x-30& =0\\ (3^4\cdot 3^{-x})+3^x-30& =0\\ 81\cdot 3^{-x}+3^x-30& =0\\ \text{Kalikan kedua ruas}& \text{dengan}{3}^x\\ (81\cdot 3^0)+(3^x{)}^2-30\cdot 3^x& =0\\ (3^x{)}^2-30\cdot 3^x+81& =0\end{array}$
Misalkan $a=3^x$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{array}{cc}{a}^2-30a+81& =0\\ (a-27)(a-3)& =0\\ a=27\text{atau}& a=3\end{array}$
Untuk $a=27$, diperoleh $3^x=27\Rightarrow x=3$.
Untuk $a=3$, diperoleh $3^x=3\Rightarrow x=1$.
Jadi, kita peroleh $x_1=3$ dan $x_2=1$ (terbalik tidak menjadi masalah karena tidak mengubah hasil akhir nantinya), sehingga $x_1+x_2=3+1=4$
(Jawaban D)

15.  Bila 

$x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $2^{2x}-6\cdot 2^{x+1}+32=0$ dengan $x_1>x_2$, maka nilai $2x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $\frac{1}{4}$                   C. $4$                     E. $16$
B. $\frac{1}{2}$                   D. $8$

Pembahasan

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{array}{cc}{2}^{2x}-6\cdot 2^{x+1}+32& =0\\ (2^x{)}^2-6\cdot (2^x\cdot 2)+32& =0\\ (2^x{)}^2-12\cdot 2^x+32& =0\end{array}$
Misalkan $a=2^x$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{array}{cc}{a}^2-12a+32& =0\\ (a-4)(a-8)& =0\\ a=4\text{atau}& a=8\end{array}$
Untuk $a=4$, diperoleh $2^x=4\Rightarrow x=2$.
Untuk $a=8$, diperoleh $2^x=8\Rightarrow x=3$.
Karena $x_1>x_2$, maka $x_1=3$ dan $x_2=2$, sehingga $2x_1+x_2=2\left(3\right)+2=8$
(Jawaban D)