SOAL PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

 SOAL PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

1. Penyelesaian pertidaksamaan  adalah    

Pembahasan :

Akar-akarnya adalah  dan . Sehingga intervalnya:

Namun ada syarat yaitu:

x < -1 atau x < -1

Garis bilangannya adalah:

Maka penyelesaiannya adalah:

2. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 

$2logx\le log(2x+5)+2log2$ adalah...
A.  $-\frac{5}{2}$ < x ≤ 10
B.  −2 ≤ x ≤ 10
C.  0 < x ≤ 10
D.  −2 < x < 0
E.  $-\frac{5}{2}$ ≤ x < 10

Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2

Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > $-\frac{5}{2}$
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10

Jawaban : C

3. Penyelesaian pertidaksamaan 

$log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)$ adalah...
A.  x > 6
B.  x > 8
C.  4 < x < 6
D.  −8 < x < 6
E.  6 < x < 8

Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)

Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4  .............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x² + 4x − 32 < 2x + 16
x² + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6

Jawaban : C

4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 

${}^{3}log(5-x)+{}^{3}log(1+x)<{}^{3}log(6x-10)$ adalah...
A.  x < −5 atau x > 3
B.  1 < x < 5
C.  $\frac{5}{3}$ < x < 5
D.  3 < x < 5
E.   −5 < x < 3

Pembahasan :
³log(5 − x) + ³log(1 + x) < ³log(6x − 10)

Syarat logaritma :
* 5 − x > 0 → x < 5
* 1 + x > 0 → x > −1
* 6x − 10 > 0  → x > $\frac{5}{3}$
Irisan dari syarat diatas :
$\frac{5}{3}$ < x < 5  ....................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
³log(5 − x) + ³log(1 + x) < ³log(6x − 10)
³log(5 − x)(1 + x) < ³log(6x − 10)
(5 − x)(1 + x) < 6x − 10
5 + 4x − x² < 6x − 10
x² + 2x − 15 > 0
(x + 5)(x − 3) = 0
x = −5 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −5 atau x > 3  ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
3 < x < 5

Jawaban : D

5. Penyelesaian pertidaksamaan 

${}^{2}logx+{}^{2}log(x-1)<1$ adalah...
A.  −1 < x < 2
B.  0 < x < 1
C.  1 < x < 2
D.  1 ≤ x < 2
E.  0 < x < 2

Pembahasan :
²log x + ²log(x − 1) < 1

Syarat logaritma :
* x > 0
* x − 1 > 0 → x > 1
Irisan dari syarat diatas :
x > 1  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
²log x + ²log(x − 1) < 1
²log x(x − 1) < ²log 2
x(x − 1) < 2
x² − x − 2 < 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x = −1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 2  .......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
1 < x < 2

Jawaban : C

6. Penyelesaian pertidaksamaan 

${}^{2}logx.{}^{x+1}log4<2-{}^{x+1}log4$ adalah...
A.  x > $\frac{1}{3}$
B.  x > 1
C.  0 < x < 1
D.  0 < x < $\frac{1}{3}$
E.  $\frac{1}{3}$ < x < 1

Pembahasan :
²log x . ^x+1log 4 < 2 − ^x+1log 4

Syarat logaritma :
* x > 0
* x + 1 > 0 → x > −1
* x + 1 ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
²log x . ^x+1log 4 < 2 − ^x+1log 4
²log x . ^x+1log 4 + ^x+1log 4 < 2
^x+1log 4 (²log x + 1) < 2
^x+1log 2² (²log x + ²log 2) < 2
2 . ^x+1log 2 . ²log 2x < 2
2 . ^x+1log 2x < 2
 ^x+1log 2x < 1
 ^x+1log 2x < ^x+1log (x + 1)
Berdasarkan syarat logaritma (1), maka nilai basis (x + 1) akan bernilai > 1, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
2x < x + 1
x < 1  ..............................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x < 1

Jawaban : C

7. Penyelesaian pertidaksamaan 

${}^{3}logx.{}^{1-2x}log9<2-{}^{1-2x}log9$ adalah...
A.  0 < x < $\frac{1}{5}$
B.  0 < x < $\frac{2}{5}$
C.  0 < x < $\frac{1}{2}$
D.  $\frac{1}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$
E.  $\frac{2}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
³log x . ^1-2xlog 9 < 2 − ^1-2xlog 9

Syarat logaritma :
* x > 0
* 1 − 2x > 0 → x < $\frac{1}{2}$
* 1 − 2x ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
0 < x < $\frac{1}{2}$  ..........................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
³log x . ^1-2xlog 9 < 2 − ^1-2xlog 9

³log x . ^1-2xlog 9 + ^1-2xlog 9 < 2

^1-2xlog 9 (³log x + 1) < 2

^1-2xlog 3² (³log x + ³log 3) < 2

2 . ^1-2xlog 3 . ³log 3x < 2
2 . ^1-2xlog 3x < 2
^1-2xlog 3x < 1
^1-2xlog 3x < ^1-2xlog (1 − 2x)
Berdasarkan syarat  logaritma (1), maka nilai basis (1 − 2x) akan berada pada interval 0 − 1, sehingga tanda pertidaksamaan dibalik.
3x > 1 − 2x
5x > 1
x > $\frac{1}{5}$  .................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
$\frac{1}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$

Jawaban : D

8. Penyelesaian pertidaksamaan 

${}^{\frac{1}{4}}log(x^2+3x+2)>{}^{\frac{1}{4}}log(5x+5)$ adalah...
A.  −2 < x < −1 atau x > 3
B.  x < −2 atau x > 3
C.  x < −3 atau x > 2
D.  −2 < x < 3
E.  −1 < x < 3

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x² + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)

Syarat logaritma :
* x² + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2 atau x > −1
* 5x + 5 > 0 → x > −1
Irisan dari syarat diatas :
x > −1  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x² + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)
x² + 3x + 2 < 5x + 5
x² − 2x − 3 < 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 3  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
−1 < x < 3

Jawaban : E

9.  5log 3x + 5 < 5log 35

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)

3x + 5 < 35

      3x < 30

        x < 10  ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.

10.  3log (2x + 3) > 3log 15

Pembahasan :

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)

Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15

      2x > 12

        x > 6  ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.