MATERI PTS GENAP (hanum asriyani)

1.   

1.      Jika vektor a = ( 1, 2, 3), b = (5, 4, -1), dan c = (4, -1, 1), maka hasil dari operasi vektor a + 2b – 3c adalah....

(1, 2, 3) + 2(5, 4, -1) – 3(4, -1, 1) = (-1, 13, -2) [D]

 

2.      Diketahui |a|= √3 , |b|= 1 dan |a - b| = 1. Panjang vektor a + b adalah.....

|a - b|² = a² - 2ab + b²

1²    = √3² - 2ab + 1    1     = 3 - 2ab + 1

2ab  = 3 + 1 – 1

2ab  = 3

ab   = 3/2

|a + b|² = a² + 2ab + b²
|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²
|a + b|² = 3 + 3 + 1
|a + b|² = 7
|a + b| = √7 [C]

 

3.      Diketahui a = 2i -3j +4k dan b=  5j +5k. Nilai a.b adalah....

A (2, -3, 4) . b (0, 5, 5) = 0 + (-15) +20 = 5 [B]

 

4.      Diketahui |a - b|= 2√19, jika |a|= 4 dan |b|= 6, maka |a + b| adalah .....

|a - b|² = a² - 2ab cos  + b²

(2√19) ² = 4² - 2(4)(6) cos + 6²

76= 16- 48 cos + 36

48 cos = 52- 76

Cos = -24/48

Cos =-1/2

 

|a + b|² = a² + 2ab cos  + b²

|a + b|² = 4² + 2(4)(6)(-1/2) + 6²

|a + b|²= 16 -24 +36

 A +b = √28

A+b = 2√7 [a]

 

5.      Diketahui vektor a = 2i – 3j + k, b = pi + 2j – k, dan c = i – j + 3k. Jika b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a – b – c =....

b tegak lurus c

b.c = 0

(p, 2, -1) . (1, -1, 3) = 0

P -2 -3 = 0

P = 5

Jadi, b = 5i + 2j –k

 

Vektor a – b – c

= (2, -3, 1) – (5, 2, -1) – (1, -1, 3)

= (-4, -4, -1) atau -4i – 4j – k [C]

 

6.      Jika sudut antara vektor a = i + √2j +pk dan vektor b = i - √2j +pk adalah 60˚ , maka p adalah...

a.b = (i + √2j + pk) (i - √2j + pk)

a.b = 1 -2 + p²

a.b = -1 + p²

 

|a||b|= √1 + 2 + p² . √1 – 2 + p²

|a||b|= 3 + p²

 

a.b / |a||b|= cos 60˚

-1 + p² / 3 + p² = 1/2

2 (-1 + p²) = 1 (3 + p²)

-2 + 2p² = 3 + p²

P² = 5

P = ± √5 [D]

 

7.      Titik A (3, 2, -1), B (1, -2, 1), dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p =.....

AB = K (BC)

B – A = K (C- B)

(1, -2, 1) – (3, 2, -1) = K {(7, P-1, -5) – (1, -2, 1)}

(-2, -4, 2) = K (6, P+1, -6)

 

-2 = K (6)

K = -1/3

 

-4 = -1/3 (P + 1)

12 = P + 1

P = 12 -1

P = 11 [D]

 

8.      Diketahui titik A (3, 1, -4), B (3, -4, 6), dan C (-1, 5, 4). Titik P membagi AB, sehingga AP : PB = 3 : 2 maka vektor yang diwakili oleh PC adalah....

AP : PB = 3 : 2

(P-A) : (B- P) = 3 : 2

2 ( P-A) = 3(B-P)

2P – 2A = 3B – 3P

5P = 2A + 3B

P = 2A + 3B /5

P = 2 (3, 1, -4) + 3 (3, -4, 6) /5

P = (6, 2, -8) + (9, -12, 18) /5

P = (15, -10, 10) /5

P = (3, -2, 2)

 

Vektor PC

PC = C-P

PC = (-1, 5, 4) – (3, -2, 2)

PC = (-4, 7, 2) [E]

 

9.      Panjang proyeksi orthogonal vektor a = (-2, 8, 4) pada vektor b = (0, p, 4) adalah Nilai p yang tepat adalah....

a.b = (-2, 8, 4) . (0, p, 4)

a.b = 8p +16

 

|b|= √0² + p² + 4²

|b|= √p² + 16

 

a.b / |b| = 8

 8p +16 / √p² + 16 = 8

8p + 16 = 8 (√p² + 16)

8 (p + 2) = 8 (√p² + 16)

P + 2 = √p² + 16

(p + 2)² = (√p² + 16)²

P² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

P = 3 [C]

 

10.  Diberikan vektor a = (p, 2, -1), b = (4, -3, 6), dan c = (2, -1, 3). Jika vektor a tegak lurus vektor b, maka hasil dari (a-b).(2c) adalah....

a.b = 0

(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0

(4p, -6, -6) = 0

4p = 12

P = 3

(a-b) . (2c) = [(3, 2, -1) – (4, -3, 6)] . [2 (2, -1, 3)

(a-b) . (2c) = (-1, 5, -7) . (4, -2, 6)

(a-b) . (2c) = -4 - 10 – 42

(a-b) . (2c) = -56 [D]

 

11.  Diketahui titik  A (1, 2, 3), B (3, 3, 1) dan C (7, 5, -3). Jika titik A, B, dan C segaris (kolinear), maka perbandingan AB : BC adalah....

AB : BC = [B-A] : [C-B]

AB : BC = [(3, 3, 1) – (1, 2, 3)] : [(7, 5, -3) – (3, 3, 1)]

AB : BC = (2, 1, -2) : (4, 2, -4)

AB : BC = 1 : 2 [A]

 

12.  Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a + b|= |a - b|, maka vektor a dan b saling....

|a + b|= |a - b|

√a² + 2ab cos θ  + b² = √a² - 2ab cos θ + b²

a² + 2ab cos θ  + b² = a² - 2ab cos θ + b²

4ab cos θ = 0

Cos θ = 0/4

Cos θ = 0 = 90˚

 

Jadi, vektor a dan b saling membentuk sudut 90˚ [A]

 

13.  Diketahui titik A (2, 7, 8), B (-1, 1, -1), dan C (0, 3, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili BC, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah...

u = AB

u = B –A

u = (-1, 1 ,-1) – (2, 7, 8)

u = (-3, -6, -9)

 

v = BC

v = C – B

v = (0, 3, 2) – (-1, 1, -1)

v = (1, 2, 3)

v = √1² + 2² + 3²

v = √14

 

u.v = (-3, -6, -9) . (1, 2, 3)

u.v = (-3, -12, -27)

u.v = -42

 

u.v/v²   .v = -42 / (√14)²   .(1, 2, 3)

u.v/v²   .v = -42/ 14  . (1, 2, 3)

u.v/v²   .v = -42/14 , -84/14 , -126/14 = -3, -6, -9

 

Jadi, pyoyeksi orthogonal vektor u pada v adalah -3i – 6j – 9k [A]                     

 

14.  Jika diketahui vektor a = 2i – 3j + 6k dan vektor b = i +pj – k saling tegak lurus, maka nilai p adalah...

a.b = 0

(2, -3, 6) . (1, p, -1) = 0

2 + (-3p) + (-6) = 0

-3p = 4

P = -4/3 [B]

 

15.  Diketahui vektor a = 5i +j + 7k dan b = 3i – j + 2k . proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah....

a.b = (5, 1,7) . (3, -1, 2)

a.b = (15, -1, 14)

a.b = 28

 

b = √3² -1² + 2²

b = √14

 

a.b/lb²l    . b = 28/ (√14)²   .(3, -1, 2)

a.b/lb²l    . b = 28/14 . (3, -1,2)

a.b/lb²l    . b = 84/14 , -28/14 , 56/14 = 6i – 2j + 4k [B]

 

16.  Diketahui a = (3, -2, 1) dan b = ( 2, y, 2). Jika z adalah proyeksi a terhadap |z|= 1/2|b|, maka nilai yang memenuhi adalah....

Z = a.b/|b|² . |b|

Z = 6 – 2y + 2/ (√4 + y² + 4)  . |b|

Z = 8 – 2y/ √8 +y² . |b|

 

|8-2y/ 8 +2y| |b| = 1/2 |b|

8-2y/ 8 +2y = 1/2

8 + y² = 16 – 4y

Y² + 4y – 8 =0

(y +2)² – 4 -8 = 0

(y +2)² = 12

Y + 2 = ± 2√3

Y = 2√3 – 2   atau Y = -2 - 2√3 [E]

 

17.  Misal vektor u = 9i + bj + ak dan v =ai + aj – bk . sudut antara vektor u dan v adalah θ  dengan cos θ = 6/11. Proyeksi vektor u pada v adalah p = 4i + 4j – 2k. Nilai a adalah...

u.v/ |v|² .v = p

9a + ab – ab/ (2a² + b²) . (a, a, -b) = (4, 4, -2)

9a / 2a² + b . (a, a, -b) =(4, 4, -2)

 

9a²/ 2a² + b = 4

9a²= 8a² + 4b

A² = 4b

 

-9ab/ 2a²+ b =-2

-9ab = -4a² – 2b

4a² – 9ab + 2b =0

16b – 9ab +2b= 0

18b – 9ab = 0

18 = 9a

A= 2 [B]

 

18.  Jika a = (x + 1) i + xj, b = 2x i + (3x +1) j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p|≤ 2 |a| untuk....

 

X  + 1 ≥ 0 atau x – 2 ≤ 0

X ≥ -1 atau x ≤ 2

-1 ≤ x ≤ 2 [C]

 

19.  Vektor u = 2i + j +2k dan vektor v = 4i + 2j + 4k adalah vektor searah.

·       U = (2, 1, 2) dan v = (4, 2, 4) . alasannya benar vektor u dan vektor v adalah searah.

·       U.v = 8 + 2+ 8 = 18. Sebab nya benar

Ini termasuk ke [A] karena pernyataan benar, aalasan benar, dan mempunyai sebab akibat.

 

20.  Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A (4, 7, 0) , B(6, 10, -6) , dan C (1, 9, 0) merupakan segitiga siku-siku.

·       A (4, 7, 0) , B (6, 10, -6) , C (1, 9, 0)

AB = (2, 3, -6)

BC = (-5, -1, 6)

AC = (-3, 2, 0)

 

lABl = √4 + 9+ 36 = √49

lBCl = √25+ 1+ 36 = √62

lACl = √9+ 4 = √13

 

AB² + AC² = BC²   dan siku-siku berada di titik A

 

·       Sebab akibatnya

AB. AC

= (2, 3, -6) . (-3, 2, 0)

= -6 +6 + 0

=0

Jadi, sebab akibat AB.AC > 0 yaitu salah karena yang benar adalah AB.AC= 0

 

·       Jawaban no 20 yaitu [C] karena pernyataan benar tetapi alasannya salah.