MATERI PTS GENAP (hanum asriyani)
1.
1. Jika vektor a = ( 1, 2, 3), b = (5, 4, -1), dan c = (4, -1, 1),
maka hasil dari operasi vektor a + 2b – 3c adalah....
(1, 2, 3) + 2(5, 4, -1) – 3(4, -1, 1)
= (-1, 13, -2) [D]
2. Diketahui |a|= √3 , |b|= 1 dan |a - b| = 1. Panjang vektor a + b adalah.....
|a - b|² = a² -
2ab + b²
1²
= √3² - 2ab + 1 1 = 3 - 2ab + 1
2ab = 3 + 1
– 1
2ab = 3
ab = 3/2
|a + b|² = a² + 2ab + b²
|a + b|² = √3² + 2.(3/2) + 1²
|a + b|² = 3 + 3 + 1
|a + b|² = 7
|a + b| = √7 [C]
3. Diketahui a = 2i
-3j +4k dan b= 5j +5k. Nilai a.b
adalah....
A (2, -3, 4) . b
(0, 5, 5) = 0 + (-15) +20 = 5 [B]
4. Diketahui |a - b|=
2√19, jika |a|= 4 dan |b|= 6, maka |a + b| adalah .....
|a - b|² = a² -
2ab cos + b²
(2√19) ² = 4² - 2(4)(6) cos + 6²
76= 16- 48 cos + 36
48 cos = 52- 76
Cos = -24/48
Cos =-1/2
|a + b|² = a² +
2ab cos + b²
|a + b|² = 4² +
2(4)(6)(-1/2) + 6²
|a + b|²= 16 -24
+36
A +b = √28
A+b = 2√7 [a]
5. Diketahui vektor
a = 2i – 3j + k, b = pi + 2j – k, dan c = i – j + 3k. Jika b tegak lurus
terhadap vektor c, vektor a – b – c =....
b tegak lurus c
b.c = 0
(p, 2, -1) . (1, -1, 3) = 0
P -2 -3 = 0
P = 5
Jadi, b = 5i + 2j –k
Vektor a – b – c
= (2, -3, 1) – (5, 2, -1) – (1, -1, 3)
= (-4, -4, -1) atau -4i – 4j – k [C]
6. Jika sudut antara
vektor a = i + √2j +pk dan vektor b = i - √2j +pk adalah 60˚ , maka p adalah...
a.b = (i + √2j +
pk) (i - √2j + pk)
a.b = 1 -2 + p²
a.b = -1 + p²
|a||b|= √1 + 2 +
p² . √1 – 2 + p²
|a||b|= 3 + p²
a.b / |a||b|= cos
60˚
-1 + p² / 3 + p²
= 1/2
2 (-1 + p²) = 1
(3 + p²)
-2 + 2p² = 3 + p²
P² = 5
P = ± √5 [D]
7.
Titik A (3, 2, -1), B (1, -2, 1), dan C (7, p-1, -5) segaris
untuk nilai p =.....
AB = K (BC)
B – A = K (C- B)
(1, -2, 1) – (3,
2, -1) = K {(7, P-1, -5) – (1, -2, 1)}
(-2, -4, 2) = K
(6, P+1, -6)
-2 = K (6)
K = -1/3
-4 = -1/3 (P + 1)
12 = P + 1
P = 12 -1
P = 11 [D]
8.
Diketahui titik A (3, 1, -4), B (3, -4, 6), dan C (-1, 5, 4).
Titik P membagi AB, sehingga AP : PB = 3 : 2 maka vektor yang diwakili oleh PC
adalah....
AP : PB = 3 : 2
(P-A) : (B- P) =
3 : 2
2 ( P-A) = 3(B-P)
2P – 2A = 3B – 3P
5P = 2A + 3B
P = 2A + 3B /5
P = 2 (3, 1, -4)
+ 3 (3, -4, 6) /5
P = (6, 2, -8) +
(9, -12, 18) /5
P = (15, -10, 10)
/5
P = (3, -2, 2)
Vektor PC
PC = C-P
PC = (-1, 5, 4) –
(3, -2, 2)
PC = (-4, 7, 2) [E]
9.
Panjang proyeksi orthogonal vektor a = (-2, 8, 4) pada vektor
b = (0, p, 4) adalah Nilai p yang tepat adalah....
a.b = (-2, 8, 4)
. (0, p, 4)
a.b = 8p +16
|b|= √02
+ p2 + 42
|b|= √p2
+ 16
a.b / |b| = 8
8p +16 / √p2 + 16 = 8
8p + 16 = 8 (√p2
+ 16)
8 (p + 2) = 8 (√p2
+ 16)
P + 2 = √p2
+ 16
(p + 2)2
= (√p2 + 16)2
P2 +
4p + 4 = p2 + 16
4p = 16 – 4
4p = 12
P = 3 [C]
10. Diberikan vektor
a = (p, 2, -1), b = (4, -3, 6), dan c = (2, -1, 3). Jika vektor a tegak lurus
vektor b, maka hasil dari (a-b).(2c) adalah....
a.b = 0
(p, 2, -1) . (4,
-3, 6) = 0
(4p, -6, -6) = 0
4p = 12
P = 3
(a-b) . (2c) = [(3,
2, -1) – (4, -3, 6)] . [2 (2, -1, 3)
(a-b) . (2c) = (-1,
5, -7) . (4, -2, 6)
(a-b) . (2c) = -4
- 10 – 42
(a-b) . (2c) =
-56 [D]
11. Diketahui
titik A (1, 2, 3), B (3, 3, 1) dan C (7,
5, -3). Jika titik A, B, dan C segaris (kolinear), maka perbandingan AB : BC
adalah....
AB : BC = [B-A] :
[C-B]
AB : BC = [(3, 3,
1) – (1, 2, 3)] : [(7, 5, -3) – (3, 3, 1)]
AB : BC = (2, 1,
-2) : (4, 2, -4)
AB : BC = 1 : 2 [A]
12. Jika vektor tak
nol a dan b memenuhi |a + b|= |a - b|, maka vektor a dan b saling....
|a + b|= |a - b|
√a² + 2ab cos θ + b² = √a² - 2ab cos θ + b²
a² + 2ab cos θ + b² = a² - 2ab cos θ + b²
4ab cos θ = 0
Cos θ = 0/4
Cos θ = 0 = 90˚
Jadi, vektor a
dan b saling membentuk sudut 90˚ [A]
13. Diketahui titik A
(2, 7, 8), B (-1, 1, -1), dan C (0, 3, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili
BC, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah...
u = AB
u = B –A
u = (-1, 1 ,-1) –
(2, 7, 8)
u = (-3, -6, -9)
v = BC
v = C – B
v = (0, 3, 2) –
(-1, 1, -1)
v = (1, 2, 3)
v = √12
+ 22 + 32
v = √14
u.v = (-3, -6,
-9) . (1, 2, 3)
u.v = (-3, -12,
-27)
u.v = -42
u.v/v2 .v = -42 / (√14)2 .(1, 2, 3)
u.v/v2 .v = -42/ 14
. (1, 2, 3)
u.v/v2 .v = -42/14 , -84/14 , -126/14 = -3, -6, -9
Jadi, pyoyeksi
orthogonal vektor u pada v adalah -3i – 6j – 9k [A]
14. Jika diketahui
vektor a = 2i – 3j + 6k dan vektor b = i +pj – k saling tegak lurus, maka nilai
p adalah...
a.b = 0
(2, -3, 6) . (1,
p, -1) = 0
2 + (-3p) + (-6)
= 0
-3p = 4
P = -4/3 [B]
15. Diketahui vektor
a = 5i +j + 7k dan b = 3i – j + 2k . proyeksi orthogonal vektor a pada b
adalah....
a.b = (5, 1,7) .
(3, -1, 2)
a.b = (15, -1,
14)
a.b = 28
b = √32 -12
+ 22
b = √14
a.b/lb2l . b = 28/ (√14)2 .(3, -1, 2)
a.b/lb2l . b = 28/14 . (3, -1,2)
a.b/lb2l . b = 84/14 , -28/14 , 56/14 = 6i – 2j + 4k
[B]
16. Diketahui a = (3, -2, 1) dan b = ( 2, y, 2). Jika z adalah proyeksi a
terhadap |z|= 1/2|b|, maka nilai yang memenuhi adalah....
Z = a.b/|b|2 . |b|
Z = 6 – 2y + 2/ (√4
+ y2 + 4) . |b|
Z = 8 – 2y/ √8 +y2
. |b|
|8-2y/ 8 +2y| |b|
= 1/2 |b|
8-2y/ 8 +2y = 1/2
8 + y2 = 16 – 4y
Y2 + 4y – 8 =0
(y +2)2 – 4 -8 = 0
(y +2)2 = 12
Y + 2 = ± 2√3
Y = 2√3 – 2 atau Y = -2 - 2√3 [E]
17. Misal vektor u =
9i + bj + ak dan v =ai + aj – bk . sudut antara vektor u dan v adalah θ dengan cos θ = 6/11. Proyeksi vektor u pada v
adalah p = 4i + 4j – 2k. Nilai a adalah...
u.v/ |v|2 .v = p
9a + ab – ab/ (2a2 + b2) . (a, a, -b) = (4,
4, -2)
9a / 2a2 + b . (a, a, -b) =(4, 4, -2)
9a2/ 2a2 + b = 4
9a2= 8a2 + 4b
A2 = 4b
-9ab/ 2a2+ b =-2
-9ab = -4a2 – 2b
4a2 – 9ab + 2b =0
16b – 9ab +2b= 0
18b – 9ab = 0
18 = 9a
A= 2 [B]
18. Jika a = (x + 1)
i + xj, b = 2x i + (3x +1) j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p|≤ 2
|a| untuk....
X + 1 ≥ 0 atau x – 2 ≤ 0
X ≥ -1 atau x ≤ 2
-1 ≤ x ≤ 2 [C]
19. Vektor u = 2i + j +2k dan vektor v = 4i + 2j + 4k adalah vektor
searah.
·
U = (2, 1, 2) dan
v = (4, 2, 4) . alasannya benar vektor u dan vektor v adalah searah.
·
U.v = 8 + 2+ 8 =
18. Sebab nya benar
Ini termasuk ke [A] karena
pernyataan benar, aalasan benar, dan mempunyai sebab akibat.
20. Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A (4, 7, 0) , B(6, 10,
-6) , dan C (1, 9, 0) merupakan segitiga siku-siku.
·
A (4, 7, 0) , B
(6, 10, -6) , C (1, 9, 0)
AB = (2, 3, -6)
BC = (-5, -1, 6)
AC = (-3, 2, 0)
lABl = √4 + 9+ 36 = √49
lBCl = √25+ 1+ 36 = √62
lACl = √9+ 4 = √13
AB2 + AC2 = BC2 dan siku-siku berada di titik A
·
Sebab akibatnya
AB. AC
= (2, 3, -6) . (-3, 2, 0)
= -6 +6 + 0
=0
Jadi, sebab akibat AB.AC > 0 yaitu salah karena yang benar
adalah AB.AC= 0
·
Jawaban no 20
yaitu [C] karena pernyataan benar tetapi
alasannya salah.
Komentar
Posting Komentar