PROYEKSI ORTOGONAL DAN PANJANG PROYEKSI BERSAMA CONTOH SOALNYA

 

PROYEKSI ORTOGONAL DAN PANJANG PROYEKSI BERSAMA CONTOH SOALNYA

Panjang Proyeksi Vektor

Misalkan OA = a,  OB = b, dan OP = p, dengan |a| , |b| dan |p| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan p.

Dengan bantuan trigonometri, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| dapat dinyatakan dalam bentuk :
|p| = |a| cos θ,     jika θ lancip
|p| = -|a| cos θ,    jika θ tumpul

Mengingat  $\begin{array}{c}cos\theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}\end{array}$, maka

$\begin{array}{cc}|p|& =|a|\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{a\cdot b}{|b|},\theta lancip\end{array}$

$\begin{array}{cc}|p|& =-|a|\frac{a\cdot b}{|a||b|}=-\frac{a\cdot b}{|b|},\theta tumpul\end{array}$

Walaupun persamaan terakhir bertanda negatif, namun nilainya tetap positif. Hal ini disebabkan, ketika θ tumpul, maka a ‧ b < 0.


Secara umum, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| kita rumuskan

$$\begin{array}{c}|p|=\frac{\left|a\cdot b\right|}{\left|b\right|}\end{array}$$

dengan
|p| = panjang proyeksi vektor a pada b
|b| = panjang b
|a ‧ b| = nilai mutlak dari a ‧ b

Proyeksi Skalar

Proyeksi skalar a pada b adalah suatu skalar yang nilainya sama dengan panjang proyeksi vektor a pada b, namun bertanda negatif jika vektor proyeksinya berlawanan arah dengan b.

Apabila proyeksi skalar a pada b kita notasikan dengan s, maka

$$\begin{array}{c}s=\frac{a\cdot b}{\left|b\right|}\end{array}$$

Proyeksi Ortogonal Vektor

Proyeksi vektor a pada b, yaitu p merupakan perkalian antara proyeksi skalar a pada b dengan vektor satuan dari b. Kita tulis,

$\begin{array}{c}p=s\hat{b}=\frac{a\cdot b}{\left|b\right|}\frac{b}{\left|b\right|}=\left(\frac{a\cdot b}{{\left|b\right|}^2}\right)b\end{array}$


Dengan demikian, proyeksi vektor a pada b dapat kita rumuskan menjadi

$$\begin{array}{c}p=\left(\frac{a\cdot b}{{\left|b\right|}^2}\right)b\end{array}$$

CONTOH SOAL

1. Diketahui 3 titik A(4, -1, 2), B(4, 3, -2) dan C(1, 3, 2). Tentukan panjang proyeksi vektor AB pada BC

Jawab :
AB = [4, 3, -2] - [4, -1, 2] = [0, 4, -4]
BC = [1, 3, 2] - [4, 3, -2] = [-3, 0, 4]

Panjang proyeksi vektor AB pada BC adalah

$\begin{array}{cc}|p|& =\frac{\left|AB\cdot BC\right|}{|BC|}\\ & =\frac{\left|0(-3)+4\left(0\right)+(-4)4\right|}{\sqrt{(-3{)}^2+0^2+4^2}}\\ & =\frac{|-16|}{5}=\frac{16}{5}\end{array}$



2. Dua vektor u = 2i + 3j + mk  dan v = 4i - 4j + 2k membentuk sudut tumpul. Jika panjang proyeksi vektor u pada v adalah 2, maka nilai m adalah ...

Jawab :
u = [2, 3, m]
v = [4, -4, 2]

Misalkan vektor proyeksi u pada v adalah p, dengan panjangnya adalah |p| = 2

$\begin{array}{cc}|p|& =\frac{|u\cdot v|}{|v|}\\ 2& =\frac{|2\left(4\right)+3(-4)+m\left(2\right)|}{\sqrt{4^2+(-4{)}^2+2^2}}\\ 2& =\frac{|2m-4|}{6}\\ 12& =|2m-4|\end{array}$

Dari persamaan nilai mutlak diatas, diperoleh
2m - 4 = 12  atau  2m - 4 = -12
2m = 16  atau  2m = -8
m = 8  atau  m = -4

Karena u dan v membentuk sudut tumpul, maka
u ‧ v < 0   ⇔   2m - 4 < 0   ⇔   m < 2

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m = -4


3. Diketahui p = [2, -1, 7] dan q = [3, 0, -4]. Tentukan proyeksi skalar (p + q) pada 2q

Jawab :
p + q =  [2, -1, 7] + [3, 0, -4] = [5, -1, 3]
2q = 2[3, 0, -4] = [6, 0 -8]

Proyeksi skalar (p + q) pada 2q adalah

$\begin{array}{cc}s& =\frac{(p+q)\cdot 2q}{|2q|}\\ & =\frac{5\left(6\right)+(-1)0+3(-8)}{\sqrt{6^2+0^2+(-8{)}^2}}\\ & =\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\end{array}$



4. Diketahui a = pi - 2j + 2k dan b = 2i + qj + 4k. Jika c = i - 3j + rk adalah proyeksi vektor a pada b,  maka nilai p + q + r adalah ...

Jawab :
a = [p, -2, 2]
b = [2, q, 4]
c = [1, -3, r]

Proyeksi vektor a pada b adalah c. Dengan demikian, b kolinear dengan c. Akibatnya, terdapat skalar k sehingga b = kc

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}2\\ q\\ 4\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ r\end{array}\right]\end{array}$

Dari persamaan diatas, diperoleh
2 = k(1)   ⇔   k  = 2
q = k(-3)   ⇔   q = -6
4 = k(r)   ⇔   r = 2

Proyeksi vektor a pada b kita tulis :

$\begin{array}{cc}c& =\left(\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\right)b\\ \left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right]& =\left(\frac{p\left(2\right)+(-2)(-6)+2\left(4\right)}{2^2+(-6{)}^2+4^2}\right)\left[\begin{array}{c}2\\ -6\\ 4\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}1\\ -3\\ 2\end{array}\right]& =\left(\frac{2p+20}{56}\right)\left[\begin{array}{c}2\\ -6\\ 4\end{array}\right]\end{array}$

Diperoleh persamaan

$\begin{array}{cc}1& =\left(\frac{2p+20}{56}\right)2\\ 28& =2p+20\\ 8& =2p\\ p& =4\end{array}$

Jadi, p + q + r = 4 + (-6) + 2 = 0

5. Diketahui a = [6, -4, 2]  dan  b = [4, 2, -2]. Tentukan proyeksi vektor a pada b dan proyeksi vektor b pada a.

Jawab :
a = [6, -4, 2]
b = [4, 2, -2]

Proyeksi vektor a pada b adalah

$\begin{array}{cc}p& =\left(\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\right)b\\ & =\left(\frac{6\left(4\right)+(-4)2+2(-2)}{4^2+2^2+(-2{)}^2}\right)\left[4,2,-2\right]\\ & =\left(\frac{1}{2}\right)\left[4,2,-2\right]\\ & =[2,1,-1]\end{array}$


Proyeksi vektor b pada a adalah

$\begin{array}{cc}p& =\left(\frac{a\cdot b}{|a{|}^2}\right)a\\ & =\left(\frac{6\left(4\right)+(-4)2+2(-2)}{6^2+(-4{)}^2+2^2}\right)\left[6,-4,2\right]\\ & =\left(\frac{3}{14}\right)\left[6,-4,2\right]\\ & =\left[\frac{9}{7},-\frac{6}{7},\frac{3}{7}\right]\end{array}$