VEKTOR, JENIS VEKTOR, OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

 

VEKTOR, JENIS VEKTOR, OPERASI VEKTOR DAN CONTOH SOALNYA

Vektor adalah sebuah besaran yang berarah. 

Vektor juga bisa digambarkan sebagai panah yang menunjukan arah vektor dan panjang garisnya disebut juga Besar Vektor.

Vektor yang berawal dari titik A dan berakhir di titik B bisa ditulis sebagai :

atau

Jenis – Jenis Vektor

Vektor juga memiliki beberapa jenis tersendiri, yaitu sebagai berikut.

1. Vektor Posisi

Vektor Posisi adalah vektor yang titik awalnya di titik 0 (0,0) dan titik ujungnya di A (a1, a2). 

2. Vektor 0 (Nol)

Vektor 0 adalah vektor yang panjangnya nol dan dinotasikan

Vektor nol tidak memiliki arah vektor yang jelas.

3. Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari 

adalah

Vektor di R2

Panjang sebuah segmen garis yang menyatakan vektor  atau dinotasikan sebagai Panjang vektor sebagai :

Panjang vektor tersebut ialah dapat dikaitkan dengan sudut θ yang dibentuk oleh vektor dan sumbu x positif.

Operasi di Vektor di R2

1. Penjumlahan Vektor 

2 vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya dapat disebut resultan. 

Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang juga seletak. Jika

Maka

Secara grafis, penjumlahan vektor dapat dilihat pada gambar dibawah :

Sifat – sifat penjumlahan vektor adalah sebagai berikut.

2. Pengurangan Vektor 

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu sebagai berikut:

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. 

Jika v adalah vektor dan k merupakan skalar. Maka perkalian vektor dapat dinotasikan:

Keterangan:

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor. Lihat tabel berikut.

Perkalian vektor  dengan skalar k dapat dirumuskan sebagai berikut:

4. Perkalian Skalar 2 Vektor

Perkalian skalar dua vektor dapat disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor, ditulis sebagai berikut:

contoh soal

1. Diketahui a = t i - 8 j + h k dan b = (t +2) i + 4 j + 2 k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ...

A. i + 8j + 2 k

B. i + 8 j - 2k

C. i - 8j + 2k

D. - i - 8j + 2k

E. - i - 8j - 2k

Pembahasan

a = - b maka t i - 8 j + h k = - (t +2) i - 4 j - 2 k

t = - (t +2)

t = - t - 2

2t = -2

t = -1

lalu h = -2

sehingga, a = - i - 8 j - 2 k

Jawaban: E

2. Jika vektor a = 10i + 6 j - 3k dan b = 8 i + 3 j + 3k serta c = a - b, maka vektor satuan yang searah denga c adalah...

A. 6/7 i + 2/7 j + 3/7 k
B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
C. 2/7 i - 3/7 j + 6/7 k
D. 6/7 i - 3/7 j - 2/j k
E. -2/7 i + 6/7 j - 3/7 k

Pembahasan
c = a - b = (10 i + 6 j - 3k) - (8i + 3 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k
Sehingga

Maka vektor yang searah dengan c adalah
c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k
Jawaban: B

3. Diketahui U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =...

A. √5
B. √7
C. √11
D. √13
E. √14

Pembahasan
W = 3 (3 i + 2 j + k) - 4 (2i + j) = i + 2j + 3k
 
Jawaban: E

4. Diketahui vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k menga[it sudut Ɵ. Maka nilai tan Ɵ adalah...
A. √2
B. √3
C. √5
D. √6
E. 1

Pembahasan

Jadi Ɵ = 60 derajat

Sehingga tan Ɵ = tan 60 = √3

Jawaban: B

5. Jika titik-titik P, Q, R segaris dan P(-1,1) dan R (3,5) dan PQ = QR maka titik Q adalah...

A. (3,1)

B. (1,3)

C. (1,1)

D. (3,3)

E. (-3,-1)

Pembahasan

PQ = QR maka Q - R = R - Q 

2Q = R + P 

Q = 1/2 (R + P)

Q = 1/2 (3,5) + (-1,1) = 1/2 (2,6) = (1,3)

Jawaban: B