PANJANG VEKTOR DARI: 2 TITIK KOORDINAT (DUA atau TIGA DIMENSI), KOORDINAT TITIK DAN SUDUT SERTA CONTOH SOALNYA

Vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika $\vec{a} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\end{array}\right)$ dan $\vec{b} = \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\end{array}\right)$ maka:

$\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)$

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

penjumlahan dan pengurangan vektor

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

$\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\end{array}\right)$

Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:

$\bar{a} + \bar{b} = \bar{b} + \bar{a}$
$\bar{a} + (\bar{b}+\bar{c}) = (\bar{a} + \bar{b}) + \bar{c}$

Perkalian vektor di R^2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika $\bar{v}$ adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

$k.\bar{v}$

Dengan ketentuan:

Jika k > 0, maka vektor $k.\bar{v}$ searah dengan vektor $\bar{v}$
Jika k < 0, maka vektor $k.\bar{v}$ berlawanan arah dengan vektor $\bar{v}$
Jika k = 0, maka vektor $k.\bar{v}$ adalah vektor identitas $\bar{o} = ^0_0$

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

perkalian vektor dengan skalar

Secara aljabar perkalian vektor $\bar{v}$ dengan skalar k dapat dirumuskan:

$k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\end{array}\right)$

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2

Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:

$\bar{a}.\bar{b}$ (dibaca : a dot b)

Perkalaian skalar vektor $\bar{a}$ dan $\bar{b}$ dilakukan dengan mengalikan panjang vektor $\bar{a}$ dan panjang vektor $\bar{b}$ dengan cosinus $\theta$ . Sudut $\theta$ yang merupakan sudut antara vektor $\bar{a}$ dan vektor $\bar{b}$ .

Sehingga:

$\bar{a} \cdot \bar{b} = \mid\bar{a}\mid\mid\bar{b}\mid cos\theta$

Dimana:

perkalian skalar dua vektor

Perhatikan bahwa:

Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
$\bar{a}.\bar{a} = (\bar{a}^2)$
$\bar{a}.(\bar{b}+ \bar{c}) = (\bar{a} . \bar{a}) + (\bar{a} . (\bar{c})$

Vektor di R^3

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam $R^3$ dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik $A(x_1,y_1,z_1)$ dan titik $B(x_2,y_2,z_2)$ maka jarak AB adalah:

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 b+ (z_2 - z_1)^2}$

Atau jika $\bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right)$ , maka

$\mid\bar{v}\mid = \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + (v_3)^2}$

Vektor $\bar{AB}$ dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom $\bar{AB} = \left(\begin{array}{r} b_1 - a_1\\ b_2 - a_2\\ b_3 - a_3\end{array}\right)$ atau dalam baris $\bar{AB} = (b_1 - a_1,b_2 - a_2,b_3 - a_3)$ . Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis $\bar{l}(1,0,0)$ dan $\bar{J}(0,1,0)$ dan $\bar{K}(0,0,1)$ berikut:

$\bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) + v_3\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

$\bar{v} = v_1\bar{I} + v_2\bar{J} + v_3\bar{K}$

vektor di R3

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di $R^3$ secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di $R^2$ dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di $R^3$ sama dengan vektor di $R^2$ yaitu:

$\bar{a} + \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right)$

Dan

$\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3\end{array}\right)$

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika $\bar{v}$ adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

$k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\\ k.v_3\end{array}\right)$

Hasil kali skalar dua vektor di R^3

Selain rumus di $R^3$ , ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika $\bar{a} = a\bar{I} + a_2\bar{J} + a_3\bar{K}$ dan $\bar{b} = b_1\bar{i} + b_2\bar{j} + b_3\bar{k}$ maka $\bar{a}.\bar{b}$ adalah:

$\bar{a}.\bar{b} = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)$

CONTOH SOAL

1. Tentukan panjang vektor a = (2, 4)!

Jadi, panjang vektor a = (5, 2)

2. Diketahui vektor-vektor a, b, dan c dengan vektor b = (−2,1), vektor b ⊥ vektor c, vektor a − b + c = 0. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor a, vektor b, dan, vektor c adalah √5, maka panjang vektor a adalah ….

A. √2
B. 2
C. √3
D. √6
E. 3

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut.

vektor b = (−2,1) → |b| = √(–22 + 12) = √5
vektor b ⊥ vektor c → b · c = 0
vektor a − b + c = 0 → a = b − c
Luas segitiga ABC = √5

Gambar yang sesuai dengan kondisi pada soal diberikan seperti berikut.

Contoh Soal Cara Menghitung Panjang Vektor AB

Menghitung panjang OC (c):
L∆ABC = 1/2 × L∆OABC
L∆ABC = 1/2 × OC × OB
√5 = 1/2 × OC × √5
1 = 1/2 × OC
OC = 1 : 1/2
OC = 1 × 2/1 = 2

Menghitung panjang vektor a:
|a|2 = |b – c|2
|a|2 = |b|2 + |c|2 – 2·|b|·|c| · cos 90o
|a|2 = √52 + 22 – 2·√5·2 · 0
|a|2 = √52 + 22 – 0
|a|2 = 5 + 4
|a|2 = 9
|a| = 3

Jadi, panjang vektor a adalah |a| = 3.

Jawaban: E

Cari Blog Ini

Hanum Asriyani