PANJANG VEKTOR DARI: 2 TITIK KOORDINAT (DUA atau TIGA DIMENSI), KOORDINAT TITIK DAN SUDUT SERTA CONTOH SOALNYA

 

PANJANG VEKTOR DARI: 2 TITIK KOORDINAT (DUA atau TIGA DIMENSI), KOORDINAT TITIK DAN SUDUT SERTA CONTOH SOALNYA


Vektor di R^2

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2

Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak. Jika \vec{a} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\end{array}\right) dan \vec{b} = \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\end{array}\right) maka:

\vec{a} + \vec{b} = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)

Penjumlahan secara grafis dapat dilihat pada gambar dibawah:

penjumlahan dan pengurangan vektor

Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:

\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\end{array}\right)

Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor sebagai berikut:

  • \bar{a} + \bar{b} = \bar{b} + \bar{a}
  • \bar{a} + (\bar{b}+\bar{c}) = (\bar{a} + \bar{b}) + \bar{c}

Perkalian vektor di R^2 dengan skalar

Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan suatu vektor baru. Jika \bar{v} adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

k.\bar{v}

Dengan ketentuan:

  • Jika k > 0, maka vektor k.\bar{v} searah dengan vektor \bar{v}
  • Jika k < 0, maka vektor k.\bar{v} berlawanan arah dengan vektor \bar{v}
  • Jika k = 0, maka vektor k.\bar{v} adalah vektor identitas \bar{o} = ^0_0

Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel dibawah:

perkalian vektor dengan skalar

Secara aljabar perkalian vektor \bar{v} dengan skalar k dapat dirumuskan:

k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\end{array}\right)

Perkalian Skalar Dua Vektor di R^2

Perkalian skalar dua vektor disebut juga sebagai hasil kali titik dua vektor dan ditulis sebagai:

\bar{a}.\bar{b} (dibaca : a dot b)

Perkalaian skalar vektor \bar{a} dan \bar{b} dilakukan dengan mengalikan panjang vektor \bar{a} dan panjang vektor \bar{b} dengan cosinus \theta. Sudut \theta yang merupakan sudut antara vektor \bar{a}dan vektor \bar{b}.

Sehingga:

\bar{a} \cdot \bar{b} = \mid\bar{a}\mid\mid\bar{b}\mid cos\theta

Dimana:

perkalian skalar dua vektor

Perhatikan bahwa:

  • Hasil kali titik dua vektor menghasilkan suatu skalar
  • \bar{a}.\bar{a} = (\bar{a}^2)
  • \bar{a}.(\bar{b}+ \bar{c}) = (\bar{a} . \bar{a}) + (\bar{a} . (\bar{c})

Vektor di R^3

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vektor dalam R^3 dapat diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik A(x_1,y_1,z_1) dan titik B(x_2,y_2,z_2) maka jarak AB adalah:

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 b+ (z_2 - z_1)^2}

Atau jika \bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array}\right), maka

\mid\bar{v}\mid = \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + (v_3)^2}

Vektor \bar{AB} dapat dinyatakan dalam dua bentuk, yaitu dalam kolom \bar{AB} = \left(\begin{array}{r} b_1 - a_1\\ b_2 - a_2\\ b_3 - a_3\end{array}\right) atau dalam baris \bar{AB} = (b_1 - a_1,b_2 - a_2,b_3 - a_3). Vektor juga dapat disajikan sebagai kombinasi linier dari vektor basis \bar{l}(1,0,0) dan \bar{J}(0,1,0) dan \bar{K}(0,0,1) berikut:

\bar{v} = \left(\begin{array}{r} v_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right) = v_1\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right) + v_2\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right) + v_3\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)

\bar{v} = v_1\bar{I} + v_2\bar{J} + v_3\bar{K}

vektor di R3

Operasi Vektor di R^3

Operasi vektor di R^3 secara umum, memiliki konsep yang sama dengan operasi vektor di R^2 dalam penjumlahan, pengurangan, maupun perkalian.

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3

Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3 sama dengan vektor di R^2 yaitu:

\bar{a} + \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) + \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ a_3+b_3\end{array}\right)

Dan

\bar{a} - \bar{b} = \left(\begin{array}{r} a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{r} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ a_3-b_3\end{array}\right)

Perkalian vektor di R^3 dengan skalar

Jika \bar{v} adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:

k.\bar{v} = \left(\begin{array}{r} k.v_1\\ k.v_2\\ k.v_3\end{array}\right)

Hasil kali skalar dua vektor di R^3

Selain rumus di R^3, ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor. Jika \bar{a} = a\bar{I} + a_2\bar{J} + a_3\bar{K} dan \bar{b} = b_1\bar{i} + b_2\bar{j} + b_3\bar{k} maka \bar{a}.\bar{b} adalah:

\bar{a}.\bar{b} = (a_1b_1) + (a_2b_2) + (a_3b_3)



CONTOH SOAL

1.  Tentukan panjang vektor a = (2, 4)!

Panjang Vektor Posisi a

Jadi, panjang vektor a = (5, 2)

2. Diketahui vektor-vektor a, b, dan c dengan vektor b = (−2,1), vektor b ⊥ vektor c, vektor a − b + c = 0. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor a, vektor b, dan, vektor c adalah √5, maka panjang vektor a adalah ….

A. √2
B. 2
C. √3
D. √6
E. 3

Pembahasan:

Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut.

  • vektor b = (−2,1) → |b| = √(–22 + 12) = √5
  • vektor b ⊥ vektor c → b · c = 0
  • vektor a − b + c = 0 → a = b − c
  • Luas segitiga ABC = √5

Gambar yang sesuai dengan kondisi pada soal diberikan seperti berikut.

Contoh Soal Cara Menghitung Panjang Vektor AB

Menghitung panjang OC (c):
L∆ABC = 1/2 × L∆OABC
L∆ABC = 1/2 × OC × OB
√5 = 1/2 × OC × √5
1 = 1/2 × OC
OC = 1 : 1/2
OC = 1 × 2/1 = 2

Menghitung panjang vektor a:
|a|2 = |b – c|2
|a|2 = |b|2 + |c|2 – 2·|b|·|c| · cos 90o
|a|2 = √52 + 22 – 2·√5·2 · 0
|a|2 = √52 + 22 – 0
|a|2 = 5 + 4
|a|2 = 9
|a| = 3

Jadi, panjang vektor a adalah |a| = 3.

Jawaban: E

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

DALIL TITIK TENGAH DAN DALIL INTERSEPT PADA SEGITIGA PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA

Gambar
 DALIL TITIK TENGAH DAN DALIL INTERSEPT PADA SEGITIGA PADA MASALAH GEOMETRI DAN CONTOH SOALNYA 1.   Dalil Titik Tengah Segitiga Dalil titik tengah segitiga berbunyi: “Ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah pada dua sisi segitiga akan sejajar dengan sisi ketiga segitiga. Panjang ruas garis tersebut adalah setengah dari panjang sisi ketiga segitiga”. perhatikan gambar di bawah, titik E adalah titik tengah sisi AB dan titik D adalah titik tengah sisi AC. Sehingga, terbentuklah ruas garis ED. garis ED ini akan sejajar dengan garis BC dan kita dapat menghitung panjang ED, yaitu ED = ½ BC. 2.   Dalil Proyeksi Rumus dalil proyeksi pada segitiga dapat dicari dengan memproyeksikan salah satu sisi segitiga dengan sisi segitiga yang lain. proyeksi  adalah pemetaan suatu daerah, bisa titik, garis, atau bidang secara tegak lurus terhadap daerah lainnya. Dalil proyeksi pada segitiga terbagi menjadi dua, yaitu dalil proyeksi pada segitiga tumpul dan dalil proyeksi pada se...
Baca selengkapnya

MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN VEKTOR

VEKTOR Vektor merupakan suatu besaran yang mempunyai arah dan besar. A. Vektor di Ruang Dimensi Dua Vektor di Ruang Dimensi Dua merupakan suatu bidang datar. Vektor dalam bidang dimensi dua digambarkan dalam koordinat cartesius, yaitu dengan menggunakan sumbu x (arah horizontal) dan sumbu y (arah vertikal).  Vektor Posisi dan Vektor Nol di Ruang Dua Dimensi Operasi Vektor di Ruang Dua Dimensi Besar (panjang) Vektor di Ruang Dua Dimensi Perkalian Skalar Dua Vektor di Ruaang Dua Dimensi Vektor Unit dan Vektor Basis di Ruang Dua Dimensi B. Vektor di Ruang Berdimensi Tiga     Vektor di ruang dimensi tiga merupakan perluasaan dari konsep vektor dimensi dua. Vektor di ruang      berdimensi tiga meggunakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z, sehingga setiap titik memiliki                   koordinat (x, y, z) terhadap O. Vektor Basis dalam Ruang dimensi tiga  Operasi pada vektor di Ruang dimensi 3 Panjang Vekt...
Baca selengkapnya